考研数学三真题及答案解析(完整版)

考研数学三试题详解及解题指导

考研数学三是考研数学中难度较大的一部分，需要考生在短时间内解决多道复杂的数学问题。以下为数学三试题的详解及解题指导。

一、利用极限求和式的值

题目：已知序列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n = \frac{1!}{1 n} \frac{2!}{2 n} \cdots \frac{n!}{n n}$，求 $\lim\limits_{n\to \infty}(a_1 a_2 \cdots a_n)$。

解题思路：

该问题的解题思路在于把式子中用分数表示出 $a_n$ 并进行整理转化，最后运用一些极限简化规则求出所求结果。

解题步骤：

1.将 $a_n$ 写出来：

\[ a_n = \frac{1!}{1 n} \frac{2!}{2 n} \cdots \frac{n!}{n n}\]

2.对于第 $k$ 项 $\frac{k!}{k n}$，我们可以进行如下的计算：

\begin{align*}

\frac{k!}{k n} &= \frac{k!}{(k n 1)(n 1)} \\

&= \frac{(k n 1)! (k n 1) \times (k n)!}{(k n 1)!} \\

&= 1 \frac{k n 1}{(k n 1)!} \\

\end{align*}

3.代入 $a_n$ 的表达式中：

\begin{align*}

a_n &= 1 \frac{2}{3!} \frac{3}{4!} \cdots (1)^{n1} \frac{n}{(n n)!} \\

&= 1 \frac{1}{2!} \frac{1}{3!} \cdots (1)^{n1} \frac{1}{(n 1)!} (1)^{n1} \frac{1}{(n 2)!}\\

&= \sum_{k=1}^n (1)^{k1}\frac{1}{(k 1)!} (1)^n \frac{1}{(n 2)!} \\

\end{align*}

4.将 $a_n$ 的表达式代入 $\lim\limits_{n\to \infty}(a_1 a_2 \cdots a_n)$ 中，并运用公式 $\lim\limits_{n\to \infty}(\sum_{k=1}^{n}a_k)= \sum_{k=1}^{\infty}\lim\limits_{n\to \infty}(a_k)$， 就可以得到所求的极限值：

\begin{align*}

\lim_{n\to \infty}(a_1 a_2 \cdots a_n) &= \lim_{n\to \infty}\Bigg[\sum_{k=1}^n \Bigg((1)^{k1}\frac{1}{(k 1)!} (1)^n \frac{1}{(n 2)!}\Bigg)\Bigg]\\

&= \sum_{k=1}^{\infty} \lim_{n\to \infty} \Bigg[(1)^{k1}\frac{1}{(k 1)!} (1)^n \frac{1}{(n 2)!}\Bigg]\\

&= \sum_{k=1}^{\infty}(1)^{k1}\frac{1}{(k 1)!}\\

&= \frac{1}{2}(e2)\\

\end{align*}

因此，$\lim\limits_{n\to \infty}(a_1 a_2 \cdots a_n)$ 的值为 $\frac{1}{2}(e2)$。

二、求极限

题目：已知函数 $f(x) = \int\limits_{0}^{1}|xt|e^{t}dt$，求 $\lim\limits_{x\to \infty